Was ist eine Primzahl? » Einfache Erklärung & Beispiele!

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Menge der Primzahlen
Thirunavukkarasye-Raveendran / CC BY

Was ist eine Primzahl?

 Primzahlen hat es immer schon gegeben und es wird sie auch immer weiter geben. Bereits die alten Griechen waren fasziniert von den Primzahlen und widmeten ihnen umfangreiche Studien. Beweise für ihre Forschungen konnten sie jedoch keine erbringen, jedoch sahen sie die Primzahlen als etwas mystisches an. 

Was ist eine Primzahl? Einfache Erklärung!

Die Fakten:

 

  • Eine Primzahl ist immer durch sich selbst und durch 1 ohne Rest teilbar.

 

  • Die Zahlen 0 und 1 sind keine Primzahlen.
  • Die Primzahl ist immer eine natürliche Zahl.

 

 

Zuerst wollen wir uns anschauen, warum die ersten beiden Zahlen, 0 und 1, keine Primzahlen sind. Bei der Zahl 0 wird es jedem gleich einleuchten: Eine Primzahl muss durch sich selbst teilbar sein. Durch 0 darf man aber nicht teilen, die Rechnung 0:0 ist nicht erlaubt – somit ist 0 keine Primzahl.

In lange vergangener Zeit, da galt die 1 durchaus noch als Primzahl, da sie sich ja durch sich selbst (1) teilen lässt und zwar ohne Rest. Also hätte die 1 alle Anforderungen erfüllt, um eine Primzahl zu sein. Jedoch kam man im Laufe der Zeit zu der Entscheidung, dass die 1 nicht mehr zu den Primzahlen gezählt wird. Die Gründe hierfür sind u.a., dass die 1 nur einen Teiler hat, während die anderen Primzahlen zwei Teiler aufweisen. Aber auch die Primfaktorzerlegung ist mit der 1 nicht eindeutig. Daher wurde sie aus der Liste der Primzahlen gestrichen.

 

Neue Erkenntnisse über die Primzahlen sucht man die letzten Jahre vergebens. Die gelehrten Mathematiker stehen auch so vor etwa 100 ungelösten Problemen rund um die Primzahlen. Das bekannteste Problem aus der Liste ist die Frage danach, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Viele berühmte Mathematiker haben sich an der Beantwortung dieser Frage versucht – doch bisher ohne Erfolg! Man kann gespannt sein, was die Forschung an den Primzahlen in den nächsten Jahren hervorbringt. 

 

Anwendung finden die Primzahlen etwa bei der Primfaktorzerlegung (dazu gleich mehr), dem ggT = größter gemeinsamer Teiler – hierfür werden zwei Zahlen zerlegt und dann wird die größte gemeinsame Zahl gesucht. Beispiel gefällig: Die Zahlen 36 und 48 nehmen wir heran. Die Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36. Die Teiler von 48 sind: 1, 2,, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 und 48. Also kann festgehalten werden, dass die Zahl 12 der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen ist. 

Das kgV steht für kleinstes gemeinsames Vielfaches und auch hierfür benutzt man wieder zwei Zahlen. Ziel des kgV ist es, die kleinste gemeinsame Zahl der beiden Ziffern zu ermitteln. Dafür geht man folgendermaßen vor: wir nehmen als Beispiel die Zahlen 12 und 18. Bei der 12 sind die Vielfachen 12, 24, 36, 48, 60 etc. Die Vielfachen der 18 sind 18, 36, 54, 72, 90. Somit ist das kgV die Zahl 36. 

Alle Primzahlen bis 100

Bis zur Ziffer 100 gibt es genau 25 Primzahlen. Es beginnt mit der Ziffer 2, dann folgen 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, und die letzte ist die Zahl 97. Von Interesse sind solche Listen für Menschen, die gezielt nach Primzahlen bis 50, 100 oder 1000 im Netz suchen. 

Aus der Aufzählung können auch die Primzahlen bis zur Ziffer 50 entnommen werden. Wer sich darüber hinaus noch für die Primzahlen bis zur Zahl 1000 interessiert, der klickt hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl

Primfaktorzerlegung

Bei der Primfaktorzerlegung zerlegt man, wie es der Name bereits andeutet, eine Zahl in ihre Primfaktoren. Dieselbe Zahl wird also als Produkt mehrerer Primzahlen dargestellt. Der Sinn dahinter ist es, viel über die Teilbarkeit der jeweiligen Zahl zu erfahren. 

 

Grundsätzlich sollten dabei am Ende immer Primzahlen als Rest bleiben – das sind die sogenannten Primfaktoren. Gibt es darüber hinaus noch Zahlen, so kann man die Zahl noch weiter zerlegen. Wichtig bei der Primzahlzerlegung ist es, dass fix erkannt wird, durch welche Zahl eine andere Zahl teilbar ist. Deshalb ist es hier sehr von Vorteil, wenn man die Teilbarkeitsregeln beherrscht. 

 

Zur Durchführung testet man die Primzahlen der Reihe nach auf ihre Teilbarkeit. Beginn ist bei der Zahl 2 – überprüfen, ob 2 durch 2 teilbar ist. Nun teilt man 2 tatsächlich durch 2 und schon hat man den ersten Primfaktor ermittelt. Im Anschluss wird dann noch überprüft, ob diese auch noch durch 2 teilbar ist.

 

Wenn dies der Fall ist, dann teilt man wieder durch 2 und erhält so den nächsten Primfaktor. Dabei ist es wichtig zu wissen, dass ein und derselbe Primfaktor gleich mehrmals vorkommen kann. Dieses Vorgehen wendet man so lange an, bis die Zahl nicht mehr durch 2 teilbar ist. Dann nimmt man sich die nächste Primzahl vor. 

 

Das wäre dann die 3. Auch bei dieser Zahl überprüft man die Teilbarkeit durch 3 und wendet dasselbe Procedere an wie eben beschrieben. Danach wendet man sich der 5 zu und verfährt ebenso. Das geht dann die ganze Primzahlenreihe durch, bis nur noch die 1 übrig ist. Nun hat man alle Primfaktoren gefunden. 

 

Beispiel: Die zahl 924. Zunächst teilt man sie durch 2 = 2 x 462. Dann nimmt man die 462. Die teilt man auch durch 2 = 2 x 2 x 231. dann folgt die 231. 2 x 2 x 3 x 77. Nun nimmt man die 77 und teilt sie durch 2 = 2 x 2 x 3 x 7 x 11. Folglich lautet das Ergebnis: 924 = 2 x 2 x 3 x 7 x 11.

Primzahlengenerator Algorithmus 

Die Erforschung der Primzahlenabfolge ist auch heute noch die größte Herausforderung in der Mathematik. Zahlreiche hochintelligente Mathematiker haben sich an dieser bereits die Zähne ausgebissen und fast den Verstand verloren. 

 

Die wichtigste Zahlenfolge in der Mathematik ist nach wie vor die der Primzahlenabfolge. Manch Mathematiker vermutet in den Primzahlen den “Schlüssel zu geheimen Informationen”. Einige schlaue Gelehrte sehen in den Primzahlen gar eine kosmische Verbindung, die es uns vielleicht erlaubt, mit Außerirdischen in Kontakt zu treten.

 

Bereits seit über einem Jahrhundert versuchen die Mathematiker, eine Struktur in den Primzahlen zu entdecken und sind darüber halb Wahnsinnig geworden. Euklid etwa hat bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. 

Sieb des Eratosthenes

Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus zur Benennung einer Tabelle oder Liste aller Primzahlen, welche gleich oder kleiner einer vorgegebenen Zahl ist. Eratosthenes, welcher nur der Namensgeber des Verfahrens ist, lebte im 3. Jahrhundert vor Christus. Er entdeckte das Verfahren nicht selbst, sondern kreierte nur die Bezeichnung “Sieb” für das bereits bekannte Verfahren.

eratosthenesBeim Sieb des Eratosthenes werden alle Zahlen (2, 3, 4 usw.) aufgeschrieben – bis zu einem maximalen Wert von S. Die vorerst nicht markierten Zahlen werden als vermeintliche Primzahlen angesehen. Die kleinste dieser Zahlen ist immer eine Primzahl. Wurde nun eine Primzahl gefunden, so werden alle Vielfachen dieser als zusammengesetzt gekennzeichnet. 

 

Nun wird die nächstgrößere, nicht gekennzeichnete Zahl bestimmt. Da diese aber kein Vielfaches von Ziffern kleiner als sie selbst darstellt, kann sie nur durch 1 und sich selbst teilbar sein. Ergo, muss sie eine Primzahl sein. Als dies wird sie dann auch bezeichnet. Nun werden wieder alle Vielfachen gestrichen und führt den Vorgang weiter, bis das Ende der Liste erreicht ist. Im Verlauf dieser Anwendung werden sämtliche Primzahlen ausgegeben. 

Häufig gestellte Fragen zum Thema Primzahlen

Was ist die kleinste Primzahl?

Primzahlen sind natürliche Zahlen, nur durch 1 und sich selbst teilbar. Aus dieser Aussage könnte man nun schließen, dass die kleinste Primzahl die 1 ist. Jedoch gilt dies als ausgeschlossen, da die 1 nur einen Teiler hat. Die nächste, kleine Zahl, die immer genannt wird, ist die 3, da sie die nächste ungerade Ziffer ist. 

Was aber ist mit der Zahl 2? Kommt sie nicht als kleinste Primzahl in Frage? 2 ist zwar eine gerade Zahl, jedoch auch nur durch sich selbst und 1 teilbar. Folglich können wir festhalten: Die kleinste Primzahl ist tatsächlich die gerade 2 – die einzige Primzahl, welche gerade ist.

Was ist die größte Primzahl?

Im Jahr 2016 wurde die bis dato größte bekannte Primzahl berechnet. Dies geschah an der University of Central Missouri. Diese größte bekannte derzeitige Primzahl besteht aus Sage und Schreibe 22338618 Ziffern. Bereits Euklid hat in der Antike erkannt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Bis zum heutigen Datum jedoch gibt es kein Procedere, dass besonders große Primzahlen liefern kann. 

Aus diesem Grund muss in dem Zusammenhang immer darauf verwiesen werden, dass dies die größte DERZEIT bekannte Primzahl ist. 

Größte Primzahl unter 1000?

Die größte Primzahl, auf die diese Beschreibung passt ist die 997. Von der Ziffer 2 bis 1000 gibt es genau 168 Primzahlen. Im Gegensatz dazu die Nicht – Primzahlen: 831 Ziffern.

Warum ist 1 keine Primzahl?

Schaut man sich die Geschichte der Mathematik einmal an, so verwundert es doch sehr, dass manch Mathematiker die 1 als keine Primzahl angesehen haben (Leonhard Euler zählte die 1 in seiner 1770 erschienenen “Algebra” nicht als Primzahl) und andere, welche die 1 auf die Liste der Primzahlen gesetzt haben (Derrick Norman Lehmer nahm die 1 in seine 1914 veröffentlichte Liste der Primzahlen mit auf).

Per Definition hat sich jedoch im Laufe des 20. Jahrhunderts etabliert, dass die Zahl 1 keine Primzahl ist. Die Gründe dafür sind vielseitig: So hat die 1 nur einen Teiler – Primzahlen weisen jedoch immer 2 Teiler auf. Auch wäre die Primfaktorzerlegung  mit der 1 nicht eindeutig.

Ist die 2 eine Primzahl?

Die kurze Antwort hierauf: Ja, 2 ist eine Primzahl, da sie durch sich selbst und 1 teilbar ist. Die Ziffer 2 ist auch eine natürliche Zahl (ein weiteres Merkmal einer Primzahl). Eine kleine Besonderheit gibt es aber bei der Primzahl 2 dennoch: Sie ist die einzig gerade Zahl in der Liste der Primzahlen – alle anderen gelten als ungerade. 

Wie erkenne ich eine Primzahl am schnellsten?

Hierfür lässt sich der Primzahltest anwenden. Er ist ein Verfahren aus der Mathematik, mit welchem ermittelt werden kann, ob eine bestimmte Zahl eine Primzahl ist oder eben nicht. Eine weitere Möglichkeit zur schnellen Ermittlung einer Primzahl ist die Probedivision. Aber auch das vorher vorgestellte Sieb des Eratosthenes lässt sich als Primzahltest verwenden. Auch das aus dem Sieb des Eratosthenes entwickelte Sieb von Atkin ist als Mittel für einen Primzahltest geeignet.   

Die Poesie der PrimzahlenAnzeige
  • 318 Seiten - 24.02.2014 (Veröffentlichungsdatum) - Carl Hanser Verlag GmbH & Co. KG (Herausgeber)

Die weiteren Möglichkeiten, einen Primzahltest durchzuführen sind:

 

 

  • Lucas – Test und Pépin – Test zur Überprüfung von Fermat – Zahlen

 

  • APRCL – Test: Im Jahr 1980 von 5 Mathematikern entwickelt (die Anfangsbuchstaben der Nachnamen lieferten die Bezeichnung des Tests). Mit diesem Test soll durch das Ausschalten der fermatschen Primzahlen eine deutliche Verbesserung des fermatschen Primzahltests möglich sein
  • Lucas – Lehmer – Test: er eignet sich zur Überprüfung der Mersenne – Primzahlen

 

 

Fazit

Primzahlen beschäftigen die Menschheit und die Mathematiker bereits seit der frühesten Geschichte. Es gibt so unendlich viel Informationen über die natürlichen Zahlen zu berichten, dass dies ganze Bände füllen würde. Viele hochintelligente Mathematiker forschten und forschen ihr ganzes Leben an den Geheimnissen, welche die Primzahlen noch bereit halten, jedoch kratzen diese nur an der Spitze des Eisberges.

 

Primzahlen gab es schon immer und es wird sie auch weiterhin geben. Viele sehen in ihnen eine kryptische Botschaft, welche den Kontakt zu außerirdischen Lebensformen möglich machen soll – dies sollte jedoch eher in das Reich der Märchen und Mythen verbannt werden – mit seriöser Forschung hat dieser Ansatz nichts gemein.

 

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